POLINOMIAL

Polinomial

      Polinomial adalah suku banyak yang mepunyai variabel,konstanta,pangkat bilangan cacah,operasi bilangan,dan koefisien.

Contoh polinomial   2x²+5

Contoh bukan polinomial    2x^3/2-5

Operasi Polinomial

f(x) = 2x⁴+4x³+3x²-5x+3

g(x) = 5x⁴-5x³-20

Tentukan:

 a.   f(x)+g(x)

 b.   f(x)-g(x)

 c.   f(x).g(x)

Pembahasan

 a.   f(x)+g(x)

= 2x⁴+4x³+3x²-5x+3+5x⁴-5x³-20

=2x⁴+5x⁴+4x³-5x³+3x²-5x-20+3

= 7x⁴-x³+3x²-5x-17

 b.   f(x)-g(x)

= (2x⁴+4x³+3x²-5x+3)-( 5x⁴-5x³-20)

= 2x⁴+4x³+3x²-5x+3- 5x⁴+5x³+20

= -3x⁴+9x³+3x²-5x+23

 c.   f(x).g(x)

=( 2x⁴+4x³+3x²-5x+3).( 5x⁴-5x³-20)

= 10x⁸-10x⁷+20x⁷-20x⁶+15x⁶-15x⁵-25x⁵-40x⁴+25x⁴+15x⁴

   -15x³-60x²-100x-60

= 10x⁸+10x⁷-5x⁶-40x⁵-95x³-60x²-100x-60

Menentukan Nilai Polinomial

f(x) = 4x³+3x²-5x+3

x = 2

  1.   Subtitusi

Penyelesaian menggunakan metode Subtitusi

f(x) = 4x³+3x²-5x+3

f(2) = 4(2)³+3(2)²-5(2)+3

 = 32+12-10+3

 = 37

   2.  Teorema Horner

Penyelesaian menggunakan Teorema Horner

Alogaritma Pembagian

     Bilangan = Pembagi . Hasil + Sisa

      f(x) = p(x) . h(x) + s(x)

Contoh :

f(x) =5x³+2x²+5

g(x) = x-2

f(x): g(x)

Pembuktian :

f(x) = p(x) . h(x) + s(x)

5x³+2x²+5 = (x-2). (5x²+12x+24)+ 53

5x³+2x²+5 = 5x³+12x²-10x²+24x-24x-48+53

5x³+2x²+5 = 5x³+2x²+5          TERBUKTI

Teorema Sisa I           

      Jika suku banyak f(x) dibagi x-k maka sisanya adalah f(k).

Contoh :

f(x) = x⁴+3x³-2x²+x-5 : x-2

    Pembagian Bersusun

Ø  Horner

Ø  Subtitusi

f(x) = x⁴+3x³-2x²+x-5

f(2) = 2⁴+3(2)³-2(2)²+2-5

= 16+24-8-3

= 29

Teorema Sisa II

      Jika f(x) dibagi dengan ax-b maka akan bersisa f(b/a).

Contoh :

f(x) = 2x⁴+5x³-3x²+7x+0  : 2x+3

Ø  Pembagian Bersusun

Ø  Horner

Ø  Subtitusi

f(x) = 2x⁴+5x³-3x²+7x+0 

f(-3/2) = 2(-3/2)⁴+5(-3/2)³-3(-3/2)²+7(-3/2)

         = -24

Teorema Sisa III

      Jika suatu suku banyak f(x) dibagi(x-a) (x-b) maka sisanya adalah px+q dimana f(a)=pa+q dan f(b)= pb+q

Contoh soal:

f(x)= x³-2x²+3x-1  : x²+x-2

Tentukanlah sisa pembagian

 x²+x-2

(x-1) (x+2)

a=1   b=-2

f(a)=pa+q    f(b)= pb+q

f(1)= p1+q  f(-2)= -2p+q

f(x)= x³-2x²+3x-1

f(1)= 1³-2(1)²+3(1)-1

= 1-2+3-1

= 1

f(x)= x³-2x²+3x-1

f(-2)= -2³-2(-2)²+3(-2)-1

= -8-8-6-1

= -23

f(1)= p+q

1= p+q

f(-2)= -2p+q

-23= -2p+q

Eliminasi

      Subtitusi

      p+q = 1

      8+q = 1

   q =1-8

     Sisa px+q

     px+q

     8x-7

     Pembuktian

 Teorema Faktor     

  ∀ f(x)= P(x). h(x)+ s(x)    ∋ s(x)=0

    Untuk setiap Alogaritma sama dengann P(x). h(x)+  s(x) dimana s(x)=0 maka disebut faktor

    Contoh

    a.   x^2—3x-10

    Memfaktorkan dengan Horner 

     b.  x³-3x²-13x+15

   Memfaktorkan dengan Horner

    Jadi,faktor dari x³-3x²-13x+15 adalah (x-5) (x-1) (x+3)

    HP={-3,1,5}

                         TERIMA KASIH, SEMOGA BERMANFAAT:)